Curiosità sui numeri primi


Ma sono più i numeri primi o le stelle dell’universo?

Definizione: in matematica, un numero naturale, maggiore di 1, si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l’unità.

numeri primi compresi tra 1 e 100

Non è ancora dimostrato se essi siano finiti oppure infiniti, non esiste cioè un algoritmo che consenta di stabilire se un numero sia primo o meno.

Oggi succede, così, questo (fonte Repubblica, 16 aprile 2009):

Caccia ai numeri primi: gara planetaria con premio!

Il numero primo che detiene il primato attuale, da 13 milioni di cifre (!), è stato scoperto la scorsa estate. Ora la Electronic Frontier Foundation mette in palio centinaia di migliaia di dollari per chi troverà il nuovo primatista. 13 milioni di cifre e oltre 32 chilometri di carta! Tanti ne servono per rappresentare il numero primo più grande mai scoperto. E anche se le due misure sono eccezionali, la ricerca per individuare il prossimo primatista continua. Dal momento che i numeri primi sono infiniti (?… n.d.r.), quando se ne scopre uno si passa subito a quello successivo. Adesso, grazie a due premi da 150.000$ e 250.000$ offerti dalla Electronic Frontier Foundation, la ricerca si è trasformata in una gara internazionale. La loro ricerca ha affascinato i più grandi matematici della storia. Da Eulero a Carl Gauss, Pierre de Fermat, Sophie German, Pietro Cataldi e Edouard Lucas, tutti si sono cimentati nella produzione di formule e teoremi che aiutassero a comprendere quali sarebbero stati i numeri primi in una serie numerica elevata a una certa potenza. Una ricerca lenta e faticosa: non disponendo di calcolatori elettronici e di computer, i matematici erano costretti a calcoli manuali. Fino all’avvento dei computer, di numeri primi se ne trovavano una manciata ogni secolo! Soprattutto quando si trattava di verificare il risultato dell’elevazione di un numero a una potenza abbastanza grande, diciamo nell’ordine delle centinaia di unità. Dall’arrivo dell’elaborazione elettronica la situazione è cambiata, di numeri primi se ne trovano anche un paio l’anno. Quello che detiene il primato attuale (da 13 milioni di cifre), fu scoperto l’estate scorsa da alcuni memebri del Gimps, il “Great Internet Mersenne Prime Search Group”. Il gruppo ha fatto della ricerca dei numeri primi di Mersenne – una classe particolare di numeri primi (vedi sotto per la definizione) – la ragione centrale della propria esistenza nello spazo cibernetico. I suoi membri sono a tal punto votati all’impresa che hanno collegato i loro computer in rete per dedicarli al calcolo perpetuo dei numeri primi. Al momento, di computer ce ne sono oltre 50.000, sparsi in tutti gli angoli del mondo. L’idea del crowdsourcing per imprese che un solo computer non potrebbe mai completare un simile studio non è nuova. Ad adottarla per primo fu il “Search for Extraterrestrial Intelligence Institute” di Mountain View, fondato qualche decennio fa – ora indipendente – dalla Nasa per esplorare il cosmo alla ricerca di intelligenze extraterrestri. Nel caso dei numeri primi, piuttosto che scrutare gli spazi siderali, i computer scandagliano l’infinito matematico alla ricerca degli altri Mersenne. La ricerca che fino ad allora era stata condotta sopratutto in maniera amatoriale, all’inizio del 2000 grazie da una serie di premi offerti dalla EFF si è trasformata in una gara planetaria che oppone i matematici e gli amanti della computazione a dilettanti e cacciatori d’oro. Lanciata alla fine del 1999, la sfida della EFF prevedeva che il ricercatore, o il gruppo, che avesse scoperto il primo numero primo da un milione di cifre avrebbe ricevuto 50.000$ dollari; 100.000$ allo scopritore di un numero con oltre 10 mln. di cifre, 150.000$ e 250.000$ allo scopritore del numero con 100 mln. e 1 mld. di cifre. Il premio da 50.000$ fu assegnato nell’aprile del 2000 a Nayan Hajratwala, un ricercatore di Plymouth nel Michigan, mentre il secondo premio è andato, nel settembre del 2008, al Dipartimento di Matematica della University of California San Diego. La ricerca dei numeri primi di Marin Mersenne (1588-1648) iniziò nel XVII secolo con il teologo francese stesso, che teorizzò che la formula M(n) = (2^n) – 1 produceva un numero primo per tutti i valori di n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257 – dove n, come si può osservare, è un numero intero positivo primo – . I suoi contemporanei erano consapevoli del fatto che sia loro che Mersenne non potevano verificare le correttezza delle sue teorie (provate ad elevare 2 alla 31esima potenza con carta e penna), ma tentarono comunque di stabilire la veridicità delle affermazioni del teologo. Il primo a trovarne un paio fu il matematico Cataldi, che detenne il primato per due secoli. Fino all’arrivo di Eulero, che provò che 2^ (31esima – 1) era un altro numero primo. Con il tempo si scoprirà che molte delle previsioni del teologo francese erano errate ma la ricerca è andata avanti ed i Mersenne sono diventati un categoria a parte, “i gioielli della teoria dei numeri”, li definisce Chiris Caldwell, matematico della University of Tennessee. Secondo Caldwell, la difficoltà di provare che questi numeri sono per l’appunto primi di Mersenne, anche se esiste una formula per verificarli, sta nella difficoltà di fare moltiplicazioni che coinvolgono numeri dalla lunghezza di milioni di cifre. “Bisogna moltiplicare un numero di 13 mln. di cifre per un altro dallo stesso numero di cifre, e poi farlo anche per 13 mln. di volte…” osservò il matematico. A risolvere il problema ci ha pensato George Woltman, programmatore della Florida col pallino della matematica. Oltre a creare il Gimps, è stato il primo a pensare di sfruttare il crowdsourcing. A tal scopo ha creato un programma che può essere usato dagli aderenti al suo network per collegare i pc ai computer che lavorano alla scoperta del successivo Mersenne.

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Pubblicato on 22 febbraio 2010 at 12:00  Commenti disabilitati su Curiosità sui numeri primi