Quanto è difficile vincere al Super Enalotto


Voglio portarvi l’esempio pratico del calcolo della probabilità di fare 6 al Super Enalotto

Concetti preliminari di calcolo combinatorio (da conoscere)

Che cos’è il fattoriale di un numero intero n ≥ 0? E’ il risultato del prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali a quel numero. Il fattoriale si indica con un punto esclamativo (!). Il fattoriale di un numero intero n ≥ 0 sarà, dunque,  n!

Esercizio: calcoliamo il fattoriale di 3

3! = 3*2*1 = 6

Al crescere di n, il suo fattoriale tende a diventare molto grande. Le calcolatrici di solito arrivano al massimo a calcolare il fattoriale di 69. Può essere utile utilizzare il calcolatore incorporato di google, immettendo semplicemente nella barra del motore di ricerca il numero intero seguito dal punto esclamativo e premendo invio. Come potrete osservare, verrà calcolato il risultato.

Da notare che:
1! = 1 e 0! = 1 (assunto per convenzione)

Probabilità di vincere al Super Enalotto

Nel SuperEnalotto dobbiamo scegliere 6 numeri su un totale di 90, e tutti diversi. Calcoliamo tutte le possibili combinazioni di 6  numeri qualsiasi presi da 1 a 90. Consideriamo ad esempio la combinazione

4 – 16 – 89 – 34 – 57 – 63:

  •     il 1° numero l’ho potuto scegliere tra 90 numeri
  •     il 2° tra 89 numeri..
  •     il 3° tra 88 numeri..
  •     il 4° tra 87 numeri..
  •     il 5° tra 86 numeri..
  •     il 6° tra 85 numeri..

Tutte le possibili combinazioni di 6 numeri presi da 1 a 90 sono, dunque, pari a 90 * 89 * 88 * 87 * 86 * 85 = 448.282.533.600 (ricordati di utilizzare google per effettuare questi calcoli).

La possibilità che escano contemporaneamente i numeri 4 – 16 – 89 – 34 – 57 – 63 è pari a 6!, per lo stesso discorso fatto in precedenza

Attenzione! Non ho solo una possibilità che escano i 6 numeri che ho giocato, ma 6! = 720 perché l’ordine di giocata non conta, cioè vincerei anche giocando 16 – 4 – 89 – 34 – 57 – 63 (ho semplicemente invertito i primi due numeri nella successione)

Dunque, la percentuale di vittoria per una singola combinazione giocata è data dal risultato di [6! : (90! : 84!)] = circa lo 0,0000000016%

Scommettitore: “Mamma mia, è così bassa? Lo avessi saputo prima forse non avrei mai giocato! Vorrei, allora, aumentare e di molto le mie probabilità di vincita, come posso fare?”

Questo scommettitore probabilmente non sa che neanche giocando 1000 diverse combinazioni la percentuale di vittoria non aumenta, poi, così di tanto! Vediamolo nel calcolo pratico.

A meno di “combinazioni (chiamiamole) sovrapponibili“, cioè a meno che il giocatore dimentichi di aver giocato in precedenza la combinazione 4 – 16 – 89 – 34 – 57 – 63, e giochi 4 – 16 – 89 – 34 – 63 – 57  invertendo semplicemente le ultime due cifre (o commetta un simile errore, giocando cioè per più volte una stessa combinazione), la percentuale di vincita per 1000 giocate è data dal risultato di [(6! * 1000) : (90! : 84!)] = circa lo 0.0000016%

Scommettitore: “Accidenti! Ed io spenderei così tanto per avere comunque la quasi certezza matematica di perdere? Mi dice cosa dovrei fare, allora, per ottenere almeno l’1% di probabilità di vincere?”

Considerando che il secondo risultato lo abbiamo ottenuto dal primo semplicemente moltiplicando per 1000 il dividendo, dobbiamo fare in modo che l’espressione

[(6! * x) : (90! : 84!)] = 1

(con x intero positivo e 1 la percentuale che vogiamo ottenere)

Eseguendo i calcoli si ottiene x = 622.614.630 combinazioni giocabili “non sovrapponibili”

Scommettitore: “Ho capito, meglio non giocare al Super Enalotto! Cercherò la fortuna in un altro modo..!”

by gi@mmond

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Pubblicato on 15 agosto 2011 at 07:41  Commenti disabilitati su Quanto è difficile vincere al Super Enalotto